2. Materi Linear Programmin Metode Grafik

2.1    PENDAHULUAN

Programa Linear menurut Dwi Hayu Agustini (2004:45) merupakan suatu model umum yang dapat digunakan dalam pemecahan masalah pengalokasikan sumber-sumber yang terbatas secara optimal. Masalah tersebut timbul apabila seseorang diharuskan memilih atau menentukan tingkat setiap kegiatan yang dilakukannya, dimana masing-masing kegiatan membutuhkan sumber yang sama sedangkan jumlahnya terbatas. Secara sederhana, dapat digambarkan sebuah contoh keadaan bagian produksi suatu perusahaan yang dihadapkan pada masalah penentuan tingkat produksi masing-masing jenis produk dengan memperhatikan batasan faktor-faktor produksi seperti mesin, tenaga kerja, bahan baku, dan sebagainya untuk memperoleh tingkat keuntungan maksimal atau biaya yang minimal.

Dalam memecahkan masalah diatas Programa Linear menggunakan model matematis. Sebutan “linier” berarti bahwa semua fungsi matematis yang disajikan dalam model ini haruslah fungsi-fungsi linier. Kata “programming” adalah perencanaan. Jadi Programa Linear mencakup perencanaan kegiatan-kegiatan untuk mencapai suatu hasil yang optimal yaitu suatu hasil yang mencerminkan tercapainya sasaran tertentu yang paling baik menurut model matematis diantara alternatif-alternatif yang mungkin, dengan menggunakan fungsi linier.

Dua macam fungsi Program Linear, Bustanul Arifin Noer (2010:26) mengatakan:

• Fungsi tujuan: mengarahkan analisa untuk mendeteksi tujuan perumusan masalah
• Fungsi kendala: untuk mengetahui sumber daya yang tersedia dan permintaan atas sumber daya tersebut

2.2    METODE PENYELESAIAN MASALAH PROGRAMA LINEAR

• Grafis (2 variabel), Cara grafik, mudah dimengerti artinya dan mudah dilihat pembatasannya secara visual, tetapi penggunaannya terbatas untuk dua variabel dasar. Lebih dari dua variabel lebih baik dipergunakan metode simpleks, yang akan diterangkan pada pembahasan berikutnya.

• Matematis (Simplex method)

2.3    PENYELESAIAN KHUSUS DALAM MASALAH PL,
Penyelesaian programa linear dianalisis dengan beberapa aplikasi solusi khusus dalam siang (2011: 34-39) antara lain:
a)   Alternatif Penyelesaian
Suatu model program linear dikatakan memiliki alternatif penyelesaian titik sudut daerah fisiabel memiliki nilai optimum yang sama. Jika 2 titik sudut daerah fisiabel memiliki nilai optimum yang sama, maka semua titik yang terletak di antaranya juga akan memiliki nilai optimum yang sama. Jadi ada tak berhingga penyelesaian.
b)   Daerah Fisibel Tak Terbatas
Daerah fisibel adalah daerah yang memenuhi semua kendala. Ada kalanya daerah fisibel merupakan daerah yang tak terbatas, meskipun daerah fisibelnya tak terbatas, bukan berarti nilai optimumnya tak terbatas pula.
c)    Penyelesaian Tak Terbatas
Tampak bahwa meskipun daerah fisibelnya tak terbatas, tetapi titik minimumnya tetap ada. Kasus seperti itu tidak selalu terjadi. Ada kalanya daerah fisibelnya tak terbatas dan nilai optimumnyapun juga tak terbatas. Dalam hal ini soal dikatakan tidak memiliki penyelesaian.
d)   Permasalahan Tak Fisiabel
Kasus di mana daerah fisibel tidak ada disebut soal yang tidak fisibel. Penyelidikan titik optimum fungsi dilakukan dengan mengecek nilai fungsi pada titik sudut daerah fisibel. Apabila daerah fisibelnya tidak ada maka jelas bahwa pengecekan tidak dapat dilakukan. Soal tidak memiliki penyelesaian.
e)   Permasalahan Redundant
Suatu soal dikatakan redundant (kelebihan) apabila terdapat satu/lebih kendala yang berpengaruh terhadap daerah fisibelnya. Artinya, apabila kendala tersebut dihilangkan, maka daerah fisibelnya tidak berubah (dengan demikian titik optimalnya juga tidak berubah).

2.4    LANGKAH PENYELESAIAN METODE GRAFIK
Ada beberapa langkah penyelesaian diantaranya dalam Siang (2011: 24) sebagai berikut:

1. Buat model yang sesuai dengan masalah yang ada.
2. Gambar grafik kendala-kendalanya.
3. Tentukan daerah fisibel, yaitu daerah dalam grafik yang memenuhi semua kendala.
4. Hitung nilai fungsi di titik-titik sudut segi-n daerah fisibel.
5. Cari titik yang menghasilkan nilai fungsi yang paling optimal

2.5    KASUS-KASUS DAN PENYELESAIAN DALAM METODE GRAFIK
Alternatif Penyelesaian
Contoh 3.a:

Seorang pengusaha Laptop membuat dua macam tipe, yaitu tipe portable touchscreen (A₁) dan tipe flip standar (A₂). Kedua jenis laptop dibuat dari bahan yang sama yaitu X dan Y, dengan komposisi yang berbeda.

Setiap tipe laptop portable touchscreen dibuat dari campuran 1 unit bahan X dan 3 bahan Y, sedangkan setiap tipe laptop flip standar dibuat dari campuran 2 unit bahan X dan 1 unit bahan Y. Karena keterbatasan pasokan, setiap hari ia hanya memperoleh 20 unit bahan X dan 20 unit  bahan Y.

Untuk setiap laptop tipe portable touchscreen yang ia buat, ia memperoleh keuntungan sebesar 300.000. Untuk setiap laptop tipe flip standar, ia memperoleh keuntungan sebesar 200.000.

Jika diasumsikan bahwa semua laptop laku terjual, berapa laptop masing-masing tipe harus ia buat agar keuntungan yang didapatkan maksimum?

Penyelesaian:
Sistem tabel pemodelan

Bahan	Laptop tipe portable touchscreen (A1)	Laptop tipe flip standar (A2)	Pasokan Maksimum
X	1	2	20
Y	3	1	20
Untung	300.000	200.000

Maksimumkan, f(x₁, x₂) = 300.000 x₁ + 200.000 x₂ è 3 x₁ + 2 x₂ (dalam ratusan ribu)
Kendala:
x₁ + 2 x₂ ≤ 20
3 x₁ + x₂ ≤ 20
x₁, x₂ ≥ 0
Penggambaran kendala x₁ + 2 x₂ ≤ 20, 3 x₁ + x₂ ≤ 20 dan x₁, x₂ ≥ 0

Kasus 1.1

Perpotongan bidang yang memenuhi semua kendala disebut daerah fisibel. Daerah fisibel dalam kasus ini disebut daerah fisibel AEDO (bagian yang diarsir pada bagian perpotongan bidang AOB dan bidang COD).

Koordinat E dapat dicari dari perpotongan x₁ + 2 x₂ ≤ 20 dan 3 x₁ + x₂ ≤ 20 sehingga diperoleh E(4,8).

Titik-titik sudut daerah fisibel dapat melihat keuntungan maksimum yang ingin dicapai pengusaha:

Titik-titik sudut daerah fisibel	Nilai fungsi , f(x1, x2) = 3 x1 + 2 x2 3 x1 + 2 x2 (dalam ratusan ribu)
O (0,0)	3(0) + 2(0) = 0
A (0,10)	3(0) + 2 (10) = 20
E (4,8)	3(4) + 2(8) = 12 + 16 = 28
D (20/3,0)	3(20/3) + 2(0) = 20

Keuntungan maksimum yang ingin dicapai pengusaha adalah 2.800.000.